851. Хрусталев С.А., Орлов А.И., Шаров В.Д. Математические методы оценки эффективности управленческих решений. - Журнал «Заводская лаборатория. Диагностика материалов». 2013. Т.79. №11. С.67-72.

УДК 629.735.33:004.021

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

С. А. Хрусталев, А. И. Орлов, В.Д. Шаров

Рассмотрены вопросы разработки новых математических методов оценки эффективности управленческих решений при создании систем обеспечения безопасности сложных технических систем. Изложение идет на примере автоматизированной системы прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий при организации и производстве воздушных перевозок. Её конечным продуктом должна стать выработка управленческих решений, направленных на снижение риска авиационного происшествия и повышение безопасности полетов. В статье представлен один из подходов к формированию и оценке эффективности таких решений.

Ключевые слова: математические методы оценки эффективности, сложные технические системы, обеспечение безопасности, риск авиационного происшествия, управленческие решения.

1. Введение

Теория принятия решений [1, 2]– один из основных интеллектуальных инструментов специалиста по математическим методам исследования. При выполнении инновационных исследовательских проектов возникает необходимость разработки новых математических методов оценки эффективности управленческих решений. В настоящей статье рассмотрены вопросы разработки таких методов при создании систем обеспечения безопасности сложных технических систем. Изложение идет на примере автоматизированной системы прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий (далее – система АСППАП) при организации и производстве воздушных перевозок [3]. Полученные результаты могут найти применение при решении задач обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем в ракетно-космической отрасли, атомной промышленности, на железнодорожном и трубопроводном транспорте и в других областях народного хозяйства.
Система АСППАП разрабатывается совместно крупнейшим российским грузовым авиаперевозчиком - Группой авиакомпаний «Волга-Днепр» и Ульяновским государственным университетом как инновационный проект в рамках Постановления №218 Правительства РФ от 09.04.2010. Работу коллектива исполнителей, состоящего из сотрудников Ульяновского государственного университета, Группы авиакомпаний «Волга-Днепр» и специально приглашенных консультантов координирует Экспертный совет проекта под председательством член-корр. РАН Н.А. Махутова. 
Группа компаний «Волга-Днепр» на протяжении более 20 лет успешно представляет российскую грузовую гражданскую авиацию на международном рынке, являясь мировым лидером в сегменте перевозок сверхтяжелых и негабаритных грузов. В ее состав входят две ведущие грузовые авиакомпании России — «Волга-Днепр» и «ЭйрБриджКарго» — многократные обладатели национальной премии «Крылья России». Интернациональный коллектив «Волга-Днепр» насчитывает около 3000 сотрудников, представительства группы располагаются в девяти странах мира. Основу бизнеса Группы «Волга-Днепр» составляют чартерные воздушные перевозки на уникальных рамповых самолетах Ан-124-100 и Ил-76 (авиакомпания «Волга-Днепр») и регулярные авиаперевозки грузов на воздушных судах семейства Boeing 747 (авиакомпания «ЭйрБриджКарго»).
Монопольное положение Группы компаний «Волга-Днепр» на мировом рынке нестандартных грузоперевозок определяется тем, что она располагает \самым многочисленным в мире флотом уникальных самолетов АН-124-100. «Достойных конкурентов у АН-124-100 на мировом рынке воздушных перевозок крупногабаритных и сверхтяжелых грузов до сих пор нет и, что самое любопытное, не предвидится. 150 тонн груза в любую точку планеты – бесспорно один из главных итогов первого века авиации, одно из высших ее достижений» [4, с.8].
В соответствии с требованиями Международной организации гражданской авиации (ИКАО) каждая авиакомпания разрабатывает и совершенствует систему управления безопасностью полетов. Разрабатываемая Группой компаний «Волга-Днепр» совместно с Ульяновским государственным университетом и консультантами система АСППАП отличается гораздо более глубокой проработкой вопросов оценки, анализа и управления рисками, краткосрочного и долгосрочного прогнозирования по сравнению с другими системами управления безопасностью полетов. Единственным аналогом является система CATS, разработанная по заказу Правительства Нидерландов, однако эта система заметно проще, не использует объективные данные об эксплуатационной деятельности авиакомпании и ожидаемых условиях выполнения полета и позволяет решать существенно меньший объем задач. Поэтому можно констатировать, что система АСППАП является новой в мировом масштабе инновационной разработкой, позволяющей успешно решать ключевую в авиационной отрасли проблему подготовки правил принятия решений и выдачи рекомендаций руководителям по принятию управленческих решений при управлении безопасностью полетов. Планируется, что система будет тиражироваться - передаваться авиакомпаниям и внедряться в них.
Одним из основных результатов работы системы АСППАП является перечень рекомендуемых управленческих решений, направленных на повышение безопасности полетов авиакомпании. Эффект от внедрения управленческих решений, принимаемых с использованием системы, будет во многом определяться методологией и алгоритмом ее работы [5]. 
Алгоритм функционирования системы АСППАП в части оперативного анализа безопасности полетов основан на расчете риска 12 основных типов авиационных событий. Такими типами авиационных событий являются: столкновение в воздухе, выкатывание за пределы взлетно-посадочной полосы, пожар и др. Риск выражается характеристиками распределения ущерба от авиационного события. На первом этапе разработки и опытной эксплуатации системы АСППАП используется упрощенный вариант расчета риска, как математического ожидания (среднего ожидаемого ущерба), равного произведению вероятности авиационного события (рассчитывается по исходным данным о деятельности авиакомпании и статистике авиационных событий) и среднего ущерба (рассчитывается по данным страховых случаев с экспертным учетом опыта авиакомпании) [6, 7].
Вероятности авиационных событий рассчитываются на основе разработанных «деревьев развития авиационных событий» с использованием известных методов анализа видов и последствий отказов FMEA и анализа дерева отказов FTA [8]. При этом прогноз вероятности авиационных происшествий выполняется на основе моделирования развития авиационных событий в полете в виде «деревьев», которые представляет собой логические схемы, отражающие возможные сценарии развития события от проявлений факторов опасности и их комбинаций через промежуточные события и барьеры безопасности в авиационные происшествия определенного типа.
«Деревья событий» (иногда - «деревья неисправностей») – распространенный инструмент моделирования рисков сложных технических систем. Они используются в разнообразной нормативно-технической документации, например, в ГОСТ Р 51901-2002 «Управление надежностью. Анализ рисков технологических систем», ГОСТ Р 51901.12-2007 (МЭК 60812:2006) «Менеджмент риска. Метод анализа видов и последствий отказов», РД 09-536-03 «Методические указания о порядке разработки плана локализации и ликвидации аварийных ситуаций (ПЛАС) на химико-технологических объектах», РД 03-418-01 «Методические указания по проведению анализа риска опасных производственных объектов». 
Построение деревьев событий и их применение для логико-вероятностного моделирования риска рассмотрено в монографии [9], входящей в серию «Безопасность России. Правовые, социально-экономические и научно-технические аспекты», выпускаемую большим коллективом наиболее компетентных специалистов РАН, министерств и ведомств. В монографии [10] деревья событий позволяют проводить структурное проектирование высокорисковых объектов. При математическом моделировании сложных технологических процессов железнодорожного транспорта [11] используется, в частности, дерево возникновения и развития ситуации, приводящей к проезду запрещающего сигнала. Деревья событий применяются [12] в Национальном аэрокосмическом университете им. Н.Е. Жуковского «ХАИ» (Украина). Согласно [13] деревья событий играют важную роль в теории и практике определения рисков в авиапредприятиях при разработке системы управления безопасностью полетов.
В соответствии с экспертным решением заказчика проекта в рамках АСППАП рассматриваются три горизонта (вида) прогнозирования: оперативный прогноз – риск «завтрашнего» полета, среднесрочный – риск для безопасности полетов авиакомпании на предстоящий квартал и долгосрочный – риск на перспективу в 3 года. 
Для каждого вида риска определены три уровня по «светофорному» принципу («зеленый» – «желтый» – «красный») и разработана методология принятия решений.

2. Принцип формирования набора управленческих решений

Будущими пользователями системы признано необходимым формирование базы данных рекомендаций по управленческим решениям  в области обеспечения безопасности полетов с предварительной оценкой их эффективности для всех трех видов риска. При очевидных особенностях формирования, внедрения и оценки эффективности управленческих решений «по факту» для разных видов риска, методология предварительной оценки эффективности управленческих решений остается единой. В данной статье для конкретности изложения она описана применительно к оперативным и среднесрочным рискам.
Ввиду сложности авиационно-транспортной системы, «деревья» моделей развития авиационных событий имеют большое количество «ветвей» и «листьев». Общее количество инициирующих событий, ошибочных действий, условий и обстоятельств, других входных данных, расположенных на нижнем уровне деревьев авиационных событий и названных в системе АСППАП факторами опасности, составляет более 400. В конечном итоге, вероятность (возможность) возникновения авиационного события определяется вероятностями соответствующих факторов опасности. 
Предполагаемые управленческие решения должны воздействовать на вероятности проявлений отдельных факторов опасности. В ряде случаев оценка этих воздействий может быть получена на основе статистики (по опыту внедрения подобных управленческих решений) или технических характеристик (при модернизация воздушного судна). Но в большинстве случаев воздействие управленческих решений, принимаемых в авиакомпании, на факторы опасности прогнозируется на основе экспертных оценок с использованием современных технологий [14, 15]. Поскольку выполнить экспертное оценивание влияния каждого управленческого решения на каждый фактор опасности не представляется возможным (в силу большого количества учитываемых факторов опасности), принято решение выполнить «свертку» факторов опасности, объединив их в укрупненные факторы опасности. При этом использована общепринятая для эргатических систем трехкомпонентная модель «Человек-Машина-Среда».
Ниже в качестве примера приведен список из 10 укрупненных факторов опасности для компоненты «Человек», которая насчитывает с учетом дополнительных характеристик пилота 142 фактора опасности:
1.	Отклонения в технике пилотирования на взлете и наборе высоты.
2.	 Отклонения в технике пилотирования на снижении, заходе и посадке.
3.	 Ошибочные действия в особых ситуациях.
4.	Нарушения стандартных эксплуатационных процедур.
5.	Ошибки при анализе информации и принятии решений.
6.	Недостатки взаимодействия в экипаже.
7.	Усталость экипажа.
8.	Недостатки взаимодействия «Экипаж - диспетчер по организации воздушного движения».
9.	Ошибки при техническом обслуживании самолета.
10.	Ошибки при загрузке/разгрузке самолета.
	Разработаны перечни укрупненных факторов опасности по компоненте «Машина» (насчитывается 11 укрупненных факторов опасности)  и по компоненте «Среда» (9 укрупненных факторов опасности).
	На основании опыта эксплуатационной деятельности авиакомпании, опросов руководителей и анализа результатов расследования авиационных событий составляется список управленческих решений, воздействующих на укрупненные факторы опасности – формируется база данных управленческих решений. Затем выполняется экспертная оценка воздействия каждого управленческого решения на каждый укрупненный фактор опасности с использованием современных технологий экспертного оценивания [14, 15]. В результате рассчитываются характеристики управленческих решений в виде снижения вероятности проявления укрупненных факторов опасности в данном полете (для оперативного прогноза) при внедрении данного управленческого решения. 
	Для перехода от уровня снижения вероятности проявлений укрупненных факторов опасности к показателям снижения вероятности проявлений факторов опасности, которые используются непосредственно в вычислениях системы АСППАП, было проведено специальное исследование и предложены новые метод, методика и алгоритм расчета. 

3. Оценка эффективности управленческих решений

Приведем математическое описание подхода к оценки эффективности управленческих решений, на основе которого строятся расчеты в системе АСППАП.
Пусть  – множество рассматриваемых авиационных событий, представляющих собой случайные события, заданные на некотором вероятностном пространстве . Для каждого  существует набор факторов опасности: , каждый из которых также является случайным событием. 
Пусть на основе данных о предстоящем перелете (при оперативном прогнозировании) или усредненных эксплуатационных данных авиакомпании (при среднесрочном прогнозировании) рассчитаны вероятности всех факторов опасности: . Тогда вероятность каждого авиационного события можно представить как некоторую функцию (вид зависит от структуры дерева соответствующего авиационного события), аргументами которой являются вероятности факторов опасности, то есть:
.                               (1)
При этом для любого  функция  является неубывающей по каждому аргументу, то есть для любого  и для  выполняется неравенство
.                     (2)
Для расчета эффективности управленческого решения, наряду с анализом вероятностей возникновения авиационного события, необходимо оценить и риски, связанные с предстоящим полетом (оперативный прогноз) или с эксплуатационной деятельностью авиакомпании за определенный период (среднесрочный прогноз). Риск, связанный с возникновением авиационного события j-го типа, определяется по формуле
,                                                      (3)
где  – вероятность возникновения авиационного события, рассчитанная по формуле (1),  – величина среднего ущерба при наступлении авиационного события j-го типа, определяемая на основе мировой статистики страховых выплат и статистике Автоматизированной системы обеспечения безопасности полетов воздушных судов гражданской авиации Российской Федерации.
Интегральная оценка риска (и, соответственно, безопасности) предстоящего полета или эксплуатационной деятельности авиакомпании определяется суммой рисков по каждому авиационному событию:
.                                                      (4)
Принимаемые в авиакомпании управленческие решения, направленные на повышение безопасности полетов, должны снижать уровень риска (4). К тому же каждое управленческое решение имеет некоторую стоимость. Поэтому предполагаемая эффективность управленческого решения (набора управленческих решений) определяется величиной, на которую снижается вероятность авиационного события (величина ущерба от авиационного события остается неизменной) и стоимостью данного управленческого решения (набора управленческих решений). 
Пусть  – набор всех возможных управленческих решений для определенного варианта оперативного или среднесрочного прогноза. Каждое управленческое решение характеризуется следующими параметрами, оценка которых необходима для расчета эффективности: стоимостью (определяется финансовыми подразделениями авиакомпании на основе экономических расчетов), масштабом внедрения в рамках авиакомпании (представляет собой, например, долю личного состава, прошедшего повышение квалификации, долю парка воздушных судов авиакомпании, подвергшихся модернизации и т.д., и определяется руководителями, принимающими решения о внедрении управленческого решения), степенью влияния на факторы опасности (определяется с помощью экспертного опроса). Масштаб внедрения управленческого решения представляется коэффициентом, значение которого принадлежит отрезку . Пусть  – стоимость управленческого решения , а  – доля, на которую уменьшится вероятность фактора опасности  при внедрении управленческого решения . Положим, что в дальнейших расчетах величины   и  приводятся с учетом коэффициента внедряемости. Например, проведение некоторого управленческого решения  снижает вероятность проявления фактора опасности  на 20% и планируется внедрение данного управленческого решения на 80% в рамках всей авиакомпании. Таким образом, величина , а вероятность фактора опасности  после внедрения управленческого решения заменяется на . Следует отметить, что многие величины  будут равны нулю, что означает отсутствие влияния управленческого решения на соответствующий фактор опасности (независимость событий  и ). 
Если принимается набор управленческих решений , то вероятность фактора опасности определяется формулой:
.                         (5)
	Вероятность каждого авиационного события (см формулу (1)) с учетом принимаемого набора управленческих решений , рассчитывается по формуле:
=
.                     (6)
Устраненный внедрением набора управленческих решений  риск по каждому авиационному событию определяется соотношением:
,                                                      (7) 
а общий устраненный риск будет равен:
.                                                           (8)
С другой стороны, стоимость набора управленческих решений  составляет:
.                                                            (9)
	Рассчитав величины (8) и (9), определять эффективность управленческого решения (каждого в отдельности и набора в целом) можно, используя как абсолютные критерии:
,                                                          (10)
где – абсолютный эффект от внедрения управленческого решения, так и относительные:
 ,                                                           (11)
где  – устраненный с помощью управленческого решения риск за единицу вложенных средств.

4. Определение влияния управленческого решения на факторы опасности

	Указанное влияние оценивается по известному показателю воздействия этого управленческого решения на укрупненный фактор опасности [16]. На практике при реализации описанного выше подхода к предварительной оценки эффективности управленческого решения возникает весьма объемная задача экспертного оценивания величин , представляющих собой набор долей, на которые уменьшатся вероятности факторов опасности  при внедрении управленческих решений . Даже при невысоких значениях числа возможных управленческих решений (например, ) и числа факторов опасности в дереве авиационного события (например, ) количество оценок, которое необходимо получить от каждого эксперта, будет равно , что, конечно же, практически  невозможно.
	Поэтому эксперты оценивают влияние управленческих решений на укрупненные факторы опасности. После чего возникает задача расчета величины влияния управленческого решения на фактор опасности по известной (оцененной экспертами) величине влияния управленческого решения на укрупненные факторы опасности.
Каждый укрупненный фактор опасности  представляет собой объединение (сумму) независимых случайных событий (являющихся факторами опасности некоторого авиационного события ), заданных на вероятностном пространстве : , где  – число факторов опасности, объединением которых является укрупненный фактор опасности . При этом каждый фактор опасности содержится только в одном укрупненном факторе опасности. Далее рассмотрим подробнее произвольный укрупненный фактор опасности какого-либо авиационного события.
Пусть укрупненный фактор опасности  (случайное событие на вероятностном пространстве ) является суммой (объединением)  независимых факторов опасности (также являющихся случайными событиями): . Обозначим вероятности данных событий следующим образом: , . В силу независимости факторов опасности получаем:
.                                             (12)
Пусть с помощью экспертного оценивания была получена величина , являющаяся долей, на которую снижается вероятность укрупненного фактора опасности при внедрении определенного управленческого решения :
.                                         (13)
	НА основе формул (12) и (13) необходимо для каждого фактора опасности  получить долю , на которую снижается вероятность данного фактора опасности при внедрении управленческого решения  (эффективность управленческого решения в отношении каждого фактора опасности)
.                                       (14). 
В основе алгоритма расчета величины влияния управленческого решения на фактор опасности лежит предположение, согласно которому управленческое решение может вовсе не влиять на некоторые факторы опасности, входящие в укрупненный фактор опасности, но на все оставшиеся факторы опасности влияет одинаковым образом (обоснованность предположения проверена с помощью имитационного моделирования). Следуя этому предположению, получаем (без ограничения общности):  Обозначив  и , из (12) - (14) получаем:
.              (15)
Функция  из (15) является монотонно возрастающей на множестве . Поэтому, при  (управленческое решение влияет на все факторы опасности, входящие в укрупненный фактор опасности), уравнение (13) для  имеет единственное решение , , так как . Значение  (с учетом использованных выше обозначений) используется при пересчете вероятностей факторов опасности при внедрении управленческого решения.
В случае, когда  (управленческое решение влияет не на все факторы опасности, входящие в укрупненный фактор опасности), уравнение (13) будет иметь решение, если выполнено следующее условие:
.                        (16)
Следует отметить, что условие (16) является критерием корректности экспертного оценивания коэффициента  (экспертно оценивается параметр , но ). Например, неправильно утверждать, что некоторое управленческое решение на 90% сокращает вероятность укрупненного фактора опасности (соответственно ), состоящего из десяти факторов опасности, если данное управленческое решение вообще не влияет на половину факторов опасности, входящих в укрупненный фактор опасности. Поэтому, в случае невыполнения условия (16) в некотором расчете вероятностей факторов опасности, необходимо брать такое значение , при котором  было максимально близко к , то есть .
Обобщая два рассмотренных случая, можно записать решение задачи нахождения величины влияния управленческого решения на фактор опасности по известному показателю влияния управленческого решения на укрупненный фактор опасности (см (12)-(15)) следующим образом:
.                                    (17)
Отдельно стоит рассмотреть ситуацию, когда вероятности факторов опасности  достаточно малы (в области применения системы АСППАП таких ситуаций большинство). В этом случае вероятность укрупненного фактора опасности в (12) можно оценить следующим образом:
,                                                           (18)
а уравнение (15) примет вид:
                             .                                                   (19)
	Таким образом, при малых значениях вероятностей факторов опасности, решение задачи нахождения величины влияния управленческого решения на фактор опасности по известному показателю влияния управленческого решения на укрупненный фактор опасности выглядит следующим образом:
,                                          (19)
где  определяется по формуле (18).
	Разработанные методы позволяют оценить влияние управленческих решений на значения факторов опасности. Затем с помощью системы АСППАП можно рассчитать эффективность набора управленческих решений. Решая задачу оптимизации, при заданном бюджете на обеспечение безопасности полетов находим наилучший набор управленческих решений, а также решаем двойственную задачу – определяем величину финансовых вложений, необходимых для снижения риска на заданную величину и в дальнейшем поддержания приемлемого уровня риска. 

ЛИТЕРАТУРА

1. Орлов А. И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. – 576 с.
2. Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование: теория принятия решений. — М. : КноРус, 2011. — 568 с.
3. Бутов А. А., Волков М. А., Макаров В. П., Орлов А. И., Шаров В. Д. Автоматизированная система прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий при организации и производстве воздушных перевозок // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2012. Том 14. № 4(2). С.380-385.
4. Ельцов Г. АН-124 «Руслан». История воздушного превосходства. – М.: Зебра, 2011. – 300 с.
5. Орлов А. И. Влияние методологии на последствия принятия решений. – Материалы I Международного Конгресса по контроллингу: выпуск №1 / Под науч. ред. С.Г. Фалько. – М.: НП «ОК», 2011. – С.86-90.
6. Бутов А. А., Орлов А. И., Сирота В. В., Шаров В. Д. Принятие решений при разработке системы прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий при организации и производстве воздушных перевозок // Теория активных систем: Труды международной научно-практической конференции (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия). Том I. Общая редакция – В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 2011. – С.112-115.
7. Орлов А. И., Рухлинский В. М., Шаров В Д. Экономическая оценка рисков при управлении безопасностью полетов // Материалы I Международной конференции «Стратегическое управление и контроллинг в некоммерческих и публичных организациях: фонды, университеты, муниципалитеты, ассоциации и партнерства»: выпуск №1 / Под научн. ред. С.Л. Байдакова и С.Г. Фалько. – М.: НП «ОК», 2011. – С.108-114.
8. Шаров В. Д. Макаров В. П. FMEA-FTA методология построения дерева развития авиационного события // Научный вестник МГТУ Гражданской Авиации. № 174. 2011. С.18-24. 
9. Анализ риска и проблем безопасности. В 4-х частях // Ч.1. Основы анализа и регулирования безопасности: Научн. руковод. К.В. Фролов. – М.: МГФ «Знание», 2006. – 640 с.
10. Анализ риска и проблем безопасности. В 4-х частях // Ч.4. Научно-методическая база анализа риска и безопасности. / Научн. руковод. К.В. Фролов. – М.: МГОФ «Знание», 2007. – 864 с.
11. Гуда А. Н. Математическое моделирование сложных технологических процессов железнодорожного транспорта. – Ростов н/Д.: Изд-во Рост. Ун-та, 1995. – 155 с.
12. Бабешко Е. В., Харченко В. С. Возможности совместного использования современных методов анализа отказов систем, важных для безопасности // Радiоелектроннi i комп’ютернi системи. 2009. № 6 (40). С.60-64.
13. Зубков Б. В., Шаров В. Д. Теория и практика определения рисков в авиапредприятиях при разработке системы управления безопасностью полетов. – М.: МГТУ ГА, 2010. – 196 с.
14. Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование: Ч.2. Экспертные оценки. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 486 с.
15. Орлов А. И., Савинов Ю. Г., Богданов А. Ю. Опыт экспертного оценивания условных вероятностей редких событий при разработке автоматизированной системы прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2012. Том 14. № 4(2). С.501-506.
16. Хрусталев С. А., Орлов А. И., Шаров В. Д. Оценка эффективности управленческих решений в автоматизированной системе прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2012. Том 14. № 4(2). С.535-539.